Wzory na egzamin ósmoklasisty z matematyki - kompletna lista

⚠️ Ważne: na egzaminie ósmoklasisty z matematyki nie ma karty wzorów (jak na maturze) i nie można używać kalkulatora. Wszystkie wzory trzeba znać na pamięć i umieć szybko liczyć „na papierze".

Dlaczego wzory to podstawa przygotowań?

W wielu zadaniach egzaminacyjnych sama metoda jest prosta - trudność polega na tym, żeby przypomnieć sobie właściwy wzór. Uczeń, który pewnie zna kilkanaście poniższych wzorów, zyskuje czas na zadania otwarte i sprawdzenie rozwiązań.

Poniższa lista obejmuje wzory i zależności z zakresu wymagań egzaminacyjnych na 2027 rok. Część z nich nie jest osobnym wymaganiem, tylko wynika z twierdzenia Pitagorasa - wtedy to zaznaczamy.

1. Potęgi i pierwiastki

W szkole podstawowej wykładniki potęg są liczbami całkowitymi dodatnimi (1, 2, 3, ...).

• aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
• aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ (gdy n > m, a ≠ 0)
• (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ
• aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ
• √(a · b) = √a · √b oraz √(a : b) = √a : √b (dla liczb nieujemnych, b ≠ 0)
• Wyłączanie przed pierwiastek: √50 = √(25 · 2) = 5√2

Pułapka: √(a + b) ≠ √a + √b oraz (a + b)² ≠ a² + b²

2. Procenty

• p% liczby a = (p / 100) · a
• Jakim procentem liczby b jest a? → (a / b) · 100%
• Podwyżka o p%: nowa = stara · (1 + p/100)
• Obniżka o p%: nowa = stara · (1 − p/100)

Przykład: Kurtka kosztowała 250 zł. Najpierw obniżono cenę o 20%, a potem nową cenę o 10%. Ile kosztuje teraz?
250 · 0,8 = 200 zł → 200 · 0,9 = 180 zł (a nie 250 · 0,7 = 175 zł!)

3. Prędkość, droga, czas

• s = v · t v = s / t t = s / v
• Jednostki prędkości: km/h i m/s
• 15 min = ¼ h, 20 min = ⅓ h, 30 min = ½ h, 45 min = ¾ h

4. Średnia arytmetyczna

• Średnia = (suma wszystkich wartości) / (liczba wartości)

Przykład: Średnia trzech ocen to 4. Jaką ocenę trzeba dostać jako czwartą, żeby średnia wynosiła 4,25?
Suma czterech ocen = 4 · 4,25 = 17, suma trzech = 3 · 4 = 12 → 5

5. Kąty i trójkąty

• Suma kątów w trójkącie: 180°
• W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe
• Kąty przyległe: suma 180°; kąty wierzchołkowe: równe
• Przy prostych równoległych: kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe
• Nierówność trójkąta: AB + BC ≥ AC

6. Twierdzenie Pitagorasa

• W trójkącie prostokątnym: a² + b² = c², gdzie c to przeciwprostokątna (najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego)

Wiele długości oblicza się właśnie z tego twierdzenia - nie trzeba uczyć się dla nich osobnych wzorów:

Przekątna kwadratu o boku 4: d² = 4² + 4² = 32 → d = √32 = 4√2
Wysokość trójkąta równobocznego o boku 6: wysokość dzieli podstawę na pół, więc h² + 3² = 6² → h² = 27 → h = √27 = 3√3

💡 Warto znać trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10). Pozwalają szybko rozpoznać wynik, np. trójkąt o przyprostokątnych 5 i 12 ma przeciwprostokątną 13.

7. Pola i obwody figur płaskich

Figura	Pole	Obwód
Kwadrat	P = a²	Ob = 4a
Prostokąt	P = a · b	Ob = 2a + 2b
Równoległobok	P = a · h	Ob = 2a + 2b
Romb	P = a · h = (e · f) / 2	Ob = 4a
Trójkąt	P = (a · h) / 2	Ob = a + b + c
Trapez	P = (a + b) · h / 2	suma boków
Koło / okrąg	P = πr²	L = 2πr

Wzory na pola służą też do obliczania długości odcinków - np. najkrótszej wysokości trójkąta prostokątnego o bokach 5, 12 i 13: pole to 5 · 12 : 2 = 30, więc 13 · h : 2 = 30, czyli h = 60/13.

8. Układ współrzędnych

Na egzaminie pracuje się z punktami kratowymi (o współrzędnych całkowitych) i z rysunkiem - nie są potrzebne ogólne wzory.

Środek odcinka: współrzędne środka to średnie współrzędnych końców. Dla A = (2, 4) i B = (8, 10): (2 + 8) : 2 = 5, (4 + 10) : 2 = 7, więc S = (5, 7).
Długość odcinka: dla A = (1, 2) i B = (4, 6) rysujemy trójkąt prostokątny o bokach 3 i 4 kratki. Z twierdzenia Pitagorasa: 3² + 4² = 25, więc |AB| = 5.

9. Bryły - graniastosłupy i ostrosłupy

• Prostopadłościan: V = a · b · c, Pc = 2(ab + ac + bc)
• Sześcian: V = a³, Pc = 6a²
• Graniastosłup: V = Pp · H, Pc = 2Pp + Pb
• Ostrosłup: V = ⅓ · Pp · H, Pc = Pp + Pb
(Pp - pole podstawy, Pb - pole powierzchni bocznej, H - wysokość bryły)

W zadaniach z bryłami brakujące długości (np. wysokość ostrosłupa) często oblicza się z twierdzenia Pitagorasa.

ℹ️ Walec, stożek i kula? W szkole podstawowej wymaga się jedynie rozpoznawania tych brył. Obliczanie ich objętości i pól powierzchni to materiał liceum i technikum.

10. Prawdopodobieństwo

• W prostych doświadczeniach (moneta, kostka, losowanie kul), gdy każdy wynik jest jednakowo możliwy:
prawdopodobieństwo = liczba wyników sprzyjających : liczba wszystkich możliwych wyników
• Prawdopodobieństwo jest liczbą od 0 do 1

Przykład: Losujemy jedną liczbę spośród 1, 2, 3, ..., 20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie podzielna przez 5?
Sprzyjające: 5, 10, 15, 20 → P = 4/20 = 1/5

11. Jednostki

• Długość: 1 cm = 10 mm, 1 dm = 10 cm, 1 m = 100 cm, 1 km = 1000 m
• Masa: 1 dag = 10 g, 1 kg = 1000 g, 1 t = 1000 kg
• Pojemność: 1 dm³ = 1 litr, 1 cm³ = 1 ml

⚠️ Uwaga: zanim zaczniesz liczyć, sprawdź, czy wszystkie dane są w tych samych jednostkach - np. bok w metrach, a wysokość w centymetrach to częsta pułapka.

Jak skutecznie zapamiętać wzory?

Rozumienie zamiast wkuwania - wzór na pole trójkąta to „połowa prostokąta", a objętość ostrosłupa to ⅓ graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.
Własna karta wzorów - przepisz wzory ręcznie na jedną kartkę A4 i powieś przy biurku.
Fiszki - na jednej stronie figura, na drugiej wzór. 5 minut dziennie wystarczy.
Zadania, nie listy - wzór zapamiętuje się najlepiej, kiedy kilka razy użyje się go w zadaniu.
Test na czysto - tydzień przed egzaminem zapisz wszystkie wzory z pamięci i porównaj z listą.

Podsumowanie

Na egzaminie ósmoklasisty nie dostaniesz karty wzorów - dlatego warto mieć te z powyższej listy „w małym palcu". Najważniejsze to procenty, twierdzenie Pitagorasa, pola figur, objętości brył i jednostki. Więcej o przygotowaniach przeczytasz w przewodniku Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2027. Chcesz, żeby ktoś przećwiczył z dzieckiem te wzory w zadaniach egzaminacyjnych? Umów bezpłatną lekcję próbną.