W klasie 2 liceum (np. w serii MATeMAtyka Nowej Ery) są: funkcja kwadratowa z równaniami, nierównościami i zastosowaniami, wielomiany, funkcje i wyrażenia wymierne, trygonometria oraz planimetria okręgów z twierdzeniem cosinusów. Przy rozszerzeniu dochodzi funkcja wykładnicza i logarytmiczna.
Matematyka 2 klasa liceum - tematy
Podstawa programowa nie przypisuje tematów do konkretnych klas - kolejność wynika z programu nauczania i podręcznika. Poniżej opisujemy klasę 2 według rozkładu materiału serii MATeMAtyka (Nowa Era). Literą (R) oznaczamy treści tylko z zakresu rozszerzonego - nawet jeśli podręcznik omawia je w tym samym dziale.
| Dział (np. w serii MATeMAtyka) | Najważniejsze tematy |
|---|---|
| Funkcja kwadratowa | Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, równania i nierówności kwadratowe, zadania optymalizacyjne; wzory Viète'a i parametry (R) |
| Wielomiany | Działania na wielomianach, równania W(x) = 0 w postaci iloczynowej; dzielenie przez x − a, pierwiastki całkowite i nierówności wielomianowe (R) |
| Funkcje wymierne | Funkcja f(x) = a/x i przesunięcia wykresu, mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych, proste równania wymierne; dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych oraz nierówności wymierne (R) |
| Trygonometria | Sinus, cosinus, tangens kątów od 0° do 180°, sin²α + cos²α = 1, rozwiązywanie trójkątów prostokątnych, pole trójkąta ze wzoru z sinusem |
| Planimetria | Okrąg i koło, kąty wpisane i środkowe, okrąg opisany na trójkącie i wpisany w trójkąt, wielokąty foremne, twierdzenie cosinusów; twierdzenie sinusów (R) |
| Funkcja wykładnicza i logarytmiczna | W wersji z zakresem rozszerzonym już w klasie 2 (w podstawowym - w klasie 3) |
Jak to wygląda w podręcznikach?
Twierdzenie Talesa i podobieństwo trójkątów seria MATeMAtyka omawia już w klasie 1, a ciągi - dopiero w klasie 3. W programie OE Pazdro (zakres podstawowy) klasa 2 to m.in. wartość bezwzględna, funkcja kwadratowa, okręgi i koła, trygonometria, geometria analityczna, twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wielomiany, a wyrażenia wymierne przechodzą do klasy 3.
1. Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa wraca w wielomianach, optymalizacji i geometrii analitycznej, więc trzeba ją opanować bardzo dobrze. W zakresie podstawowym uczeń szkicuje parabolę, interpretuje współczynniki w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej, rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe, wyznacza wartość najmniejszą i największą w przedziale domkniętym i rozwiązuje zadania optymalizacyjne opisane funkcją kwadratową. Wzory Viète'a, równania dwukwadratowe i zadania z parametrem to zakres rozszerzony (R).
Δ = 25 − 24 = 1, x₁ = (5 − 1) : 2 = 2, x₂ = (5 + 1) : 2 = 3, więc x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 81 − 80 = 1, pierwiastki: 4 i 5. Ramiona paraboli skierowane w górę, więc x ∈ (−∞, 4) ∪ (5, ∞).
Boki x i 10 − x, pole P(x) = x(10 − x) = −x² + 10x. Wierzchołek paraboli: x = 5. Kwadrat 5 × 5, pole 25.
2. Wielomiany
W zakresie podstawowym uczeń dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany oraz rozwiązuje równania W(x) = 0 dla wielomianów już doprowadzonych do postaci iloczynowej. Rozkładanie wielomianu na czynniki metodą grupowania, dzielenie przez dwumian x − a, szukanie pierwiastków całkowitych oraz nierówności wielomianowe to zakres rozszerzony (R).
Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero: x = 2, x = −3 lub x = 1/2.
x²(x − 2) − 9(x − 2) = 0 → (x − 2)(x² − 9) = 0 → (x − 2)(x − 3)(x + 3) = 0
x = 2, x = 3 lub x = −3 (sprawdzenie dla x = 2: 8 − 8 − 18 + 18 = 0).
3. Funkcje i wyrażenia wymierne
W zakresie podstawowym są: funkcja f(x) = a/x (wielkości odwrotnie proporcjonalne), przesuwanie jej wykresu oraz mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych. Proste równania wymierne, które po przekształceniach sprowadzają się do równania liniowego lub kwadratowego, są także na poziomie podstawowym. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych oraz nierówności wymierne to zakres rozszerzony (R). W każdym zadaniu trzeba pamiętać o dziedzinie - mianownik nie może być zerem.
x² − 9 = (x − 3)(x + 3), więc po skróceniu otrzymujemy x + 3.
x + 1 = 2x − 4 → x = 5 (należy do dziedziny).
4. Trygonometria
W szkole podstawowej trygonometrii nie ma, więc dla wielu uczniów to zupełnie nowy dział. W zakresie podstawowym uczeń korzysta z definicji sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów od 0° do 180°, zna wartości dla 30°, 45° i 60°, stosuje sin²α + cos²α = 1 i tgα = sinα / cosα, rozwiązuje trójkąty prostokątne i oblicza pole trójkąta ze wzoru P = ½ · a · b · sinγ. Miara łukowa, wykresy funkcji trygonometrycznych, wzory redukcyjne i równania trygonometryczne to zakres rozszerzony (R) - w serii MATeMAtyka przypadają na klasę 3.
cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, a α jest ostry, więc cosα = 4/5, tgα = (3/5) : (4/5) = 3/4.
5. Planimetria: okręgi, twierdzenie cosinusów
W zakresie podstawowym są m.in.: kąty wpisane i środkowe, długość łuku i pole wycinka koła, okrąg opisany na trójkącie i wpisany w trójkąt, wielokąty foremne oraz twierdzenie cosinusów. Twierdzenie sinusów oraz własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu to zakres rozszerzony (R).
Środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej, więc R = 5. Pole P = 24, obwód 24, więc promień okręgu wpisanego r = 2P : obwód = 48 : 24 = 2.
c² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · cos60° = 89 − 40 = 49, więc c = 7; pole: ½ · 5 · 8 · sin60° = 10√3.
Technikum
W technikum obowiązuje ta sama podstawa programowa, ale materiał jest rozłożony na pięć lat. W ramowym rozkładzie serii MATeMAtyka dla technikum (zakres podstawowy) klasa 2 obejmuje funkcję liniową, planimetrię, funkcję kwadratową i wielomiany, a funkcje wymierne i trygonometria przypadają na klasę 3.
Podsumowanie
Klasa 2 to rok funkcji kwadratowej, algebry (wielomiany, wyrażenia wymierne) i geometrii z trygonometrią. Zanim zaczniesz, upewnij się, że solidnie opanowany jest materiał z klasy 1, a potem zajrzyj do tematów klasy 3. Jeśli potrzebujesz wsparcia, zapraszamy na korepetycje z matematyki dla 2 klasy liceum lub dla 2 klasy technikum.